26 juillet 2022
Simulation de l'action des antibiotiques et de la formation de résistance
Sources : Equations de Lotka-Volterra et Lotka-Volterra equations
━━ Proies en milliers par an
━━ prédateurs par an
$$\lbrace\begin{array}{ccc}x^\prime(t) & = & x(t)(a -b.y(t)) \\y^\prime(t) & = & y(t)(d.x(t) -c) \end{array}$$
La figure(1)ci-contre montre l'évolution de la population des proies, en milliers et celle des prédateurs (en unités). Les données numériques viennent de Le modèle proies-prédateurs de Lotka-Volterra implémenté en python, dans lequel il s'agit de lapins et de lynx.
On y voit une corrélation : le nombre des prédateurs augmente lorsque des proies en nombre existent.
Prédateurs en fonction des proies
La deuxième figure illustre la variation du nombre de prédateurs en fonction du nombre de proies (ces dernières étant toujours en milliers).
━━bactéries sensibles ━━bactéries résistantes ━━défenses immunitaires ━━antibiotiques
Source : Mathematical modelling of bacterial resistance to multiple antibiotics and immune system response
Je me suis permis de simplifier l'article cité ci-dessus en limitant le nombre d'antibiotiques à 1.
Je rappelle ici le système d'équations différentielles ainsi simplifié :
$$\dfrac{ds}{dt}=bsr(1-s-r)-hbs -s(α+d)a$$
$$\dfrac{dr}{dt}=b(1 -c)r(1-s-r)- hbr + s.αa$$
$$\dfrac{db}{dt}=kb(1-\dfrac{b}{s+r})$$
$$\dfrac{da}{dt}=m(1 - a)$$
Dans leur article les auteurs désignent par s, r, b, a, les variables normaliées, c'est à dire $s=\dfrac{S}{T}$, $r=\dfrac{R}{T}$, $b=\dfrac{B}{ωT}$ et $a=\dfrac{A}{\frac{δ}{μ}}}$, où S, R, B et A sont les effectifs des populations de sensibles, résistants, macrophages et antibiotiques et T la capacité biotique. Pour les autres variables voyez l'article déjà cité.
La figure ci-contre rend compte de l'évolution des populations des bactéries sensibles et résistantes en fonction du temps en jours.
J'ai ajouté au modèle cité en source dans le paragraphe précédent un paramètre qui est la durée du traitement.
━━bactéries sensibles ━━bactéries résistantes ━━défenses immunitaires ━━antibiotiques
━━bactéries sensibles ━━bactéries résistantes ━━défenses immunitaires ━━antibiotiques
Dans ce cas l'action est plus rapide mais il y a plus de naissances de résistants et l'équilibre est un peu plus long (trois mois).
━━bactéries sensibles ━━bactéries résistantes ━━défenses immunitaires ━━antibiotiques
Ici il y a encore plus de naissances de résistants et l'équilbre est beaucoup plus long.
Elle a été réalisée en javascript. Les sources sont disponibles dans le source de la page ou ici :
plot.js et antibio.js.