More is less

La vache qui regarde passer les limousines

- Fréquences de la gamme tempérée

- Effet Doppler

Fréquences de la gamme tempérée

Entre une note et l'octave la fréquence double.

Exemple : les fréquences du La sont 220 Hz, 440 Hz, 880 Hz, ...

Dans la gamme tempérée une octave est divisée en douze demi-tons. Le rapport de fréquences entre une note et le demi-ton en dessous est donc : $$k=e^{\tfrac{log(2)}{12}}$$ dont une valeur approchée est $k \simeq 1.05946$.

Exemple : La fréquence du La est 440 Hz.

La fréquence du La# se calcule en multipliant par $k$ : $1.05946×440 \simeq 466$ Hz

Pourquoi $e^\tfrac{log 2}{12}$ ?

Parce que il faut que $k^{12}=2$, donc $12log(k)=log 2$ etc.

Effet Doppler

Les ondes sonores arrivent comme les vagues au bord de la mer.

Les caractéristiques d'une onde sont :

La distance entre les crêtes est la longueur d'onde $\lambda = cT$. Mais si l'émetteur se déplace vers le récepteur à la vitesse $v$, cette distance va être réduite de $vT$.

La longueur d'onde apparente est alors : $$cT-vT=cT'$$ où $T'$ est la période apparente.

Calcul de la vitesse de l'émetteur en fonction des fréquences

L'équation précédente donne $$vT=c(T-T')$$

$$v=c(1-\frac{T'}{T})$$

et en passant aux inverses, $T=\dfrac{1}{f}$ :

$$v=c(1-\frac{f}{f'})$$

Exemple :

Une vache entend arriver une limousine. Ayant l'oreille absolue elle reconnait un La. Après le passage de la limousine le son baisse d'un ton. Quelle est la vitesse de la limousine ?

Solution:

Si le son baisse d'un ton après le passage de la limousine, il y a en gros un demi-ton entre la fréquence émise par la limousine et ce qu'entend la vache.

On a : $$\frac{f'}{f}=e^\frac{log 2}{12} \simeq 1.05946$$

Donc $$v \simeq 300×(1 - \frac{1}{1.05946}) \simeq 16.8 m/s$$

Ce qui donne en gros $60 km/h$.


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