7 décembre 2021

Nombres complexes

Cet article n'est pas un cours sur les nombres complexes. Il en existe tant qui sont bien faits. Lisez le plutôt comme une divagation mathématique autour des nombres jusqu'aux complexes. J'espère qu'il remettra les yeux en face des trous, pour quelqu'un qui a appris, mais beaucoup oublié.

Introduction

L'introduction des nombres complexes remonte au ⅩⅥ e siècle. Elle fut secrète et «complexe». Cardan (Gerolamo Cardano) les appelait des nombres fictifs. Niccolo Tartaglia les utilisait pour résoudre l'équation $x^3=ax+b$. Bombelli faisait preuve d'ingéniosité, etc.

Notre bac à sable

Jusqu'à la terminale nous connaissions :

Les démons de l'Antiquité ont été les irrationnels : $\sqrt 2$, $\pi$, etc.

La secte des pythagoriciens les rejetait.

Exercice

On savait depuis l'Antiquité que $\sqrt 2$ est irrationnel. Démontrons-le.

Faisons les mariols en disant le faux pour avoir le vrai, et admettons que $\sqrt2$ est rationnel. Il existe alors une fraction irréductible $\dfrac p q=\sqrt2$, i.e. $p$ et $q$ sont des entiers naturels premiers entre eux.

Il vient alors $p=q\sqrt 2$, ou $p^2=2q^2$. Clairement 2 divise $p^2$ donc $p$ et donc $p=2p'$. En simplifiant $4p'^2=2q^2$ ont arrive à $2p'^2=q^2$, et ça nous reprend de voir que 2 divise $q$, ce qui ne va pas du tout : on avait choisi $p$ et $q$ premiers entre eux. cqfd.

Cette démonstration remonte à Euclide (300 avant J.C.)

Extension de corps

Considérons l'ensemble E des nombres réels de la forme $a+b\sqrt 2$ où $a$ et $b$ sont des rationnels, i.e. $a\in ℚ$ et $b\in ℚ$.

Soit $t=a+b\sqrt 2$ et $t'=a'+b'\sqrt2$.

Questions : 1) $t+t'\in E$ ? 2) $0\inE$ ? 3)$-t\in E$ ? 4) $tt'\in E$ ? 5) $1 \in E$ ? Moins immédiat : 6) si $t\ne0$, $\dfrac 1 t\inE$ ? (1)

Les nombres complexes

Tout à l'heure l'intrus chez les rationnels était l'irrationnel $\sqrt2$. Là l'ET est un imaginaire. Son nom est $i$ et son pedigree est $i^2 = -1$.

Remarque : L'autre solution de cette équation est alors son opposé $-i$.

Comme nous l'avons fait ci-dessus, nous allons procéder à une extension du corps ℝ des réels par la formule $z = a + ib$

$a$ est la partie réelle de $z$ notée $Re(z)$ et $b$ est sa partie imaginaire notée $Im(z)$.

Ils forment l'ensemble ℂ des nombres complexes, vu comme une extension de l'ensemble ℝ des rééls. Comme ℝ, ℂ est un corps commutatif(2), c'est à dire qu'on peut appliquer les règles de calcul usuelles, en remplaçant à chaque fois que l'on peut $i^2$ par $-1$.

Forme algébrique $z=x+iy\qquad i^2=-1 \qquad Re(z)=x \qquad Im(z)=y$

On écrit parfois la forme algébrique $\dfrac 3 2+i\dfrac 1 2$ sous la forme $\dfrac {3+i}2$ (ou $3(1-2i)$ à la place de $3-6i$). C'est un abus commode, mais la vraie forme algébrique reste $a+ib$.

Exemples

$(1-i)(4+i)=4+i-4i-i^2=4+i-4i-(-1)=5-3i$

$(2+3i)^2=4+2×6i+9i^2=4+12i-9=-5+12i$

$(1-i)(1+i)=1-i^2=1+1=2$

$(\dfrac{1+i\sqrt3}2)^3=\dfrac 1 8(1+3i\sqrt3+3i^2×3+i^3×3\sqrt3)=\dfrac 1 8(1+3i\sqrt3-9-3i\sqrt3)= -1$.

Remarque : J'ai utilisé ici $(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+b^3$ qu'il n'est pas inutile de connaitre.

On peut retenir et appliquer les formules suivantes pour une meilleure vélocité de calcul :

$(a+bi)(a'+b' i)=aa'-bb'+i(ab'+a'b)$
$(a+ib)^2=a^2-b^2+2abi$

Le symbole i

C'est à Euler qu'on doit l'introduction du symbole $i$ qui s'écrivait jusque-là $\sqrt{-1}$. C'est aussi à lui qu'on doit le symbole $e$, les notations $cos(x)$, $sin(x)$, etc. et c'est encore lui qui imposa le symbole $\pi$.

Conjugué

Par définition le conjugué de $z=x+iy$ est $\bar z=x-iy$.

$z=x+iy\Longleftrightarrow \bar z=x-iy\quad z\bar z=x^2+y^2=|z|^2\quad \bar{z+z'}=\bar z+\bar {z'}\quad \bar{zz'}=\bar z\bar {z'}$

Les relations ci-dessus sont immédiates et sont très utiles. On peut aussi retenir $z+\bar z=2Re(z)\quad \bar z -\bar z=2Im(z)$.

Exemple important

Forme algébrique de $\dfrac 1 z$ avec $z=x+iy$ et $z\ne 0$

On multiplie en haut et en bas par le conjugué du dénominateur,

$\dfrac 1 z=\dfrac{\bar z}{z.\bar z}=\dfrac{x-iy}{x^2+y^2}=\dfrac x{x^2+y^2}-i\dfrac y {x^2+y^2}$

Chaque fois qu'il faut calculer la forme algébrique d'une fraction de nombres complexes, il faut privilégier cette méthode.

Équations algébriques

Équation $z^3-1=0$.

$z_1 =1$ est une racine évidente, donc on peut factoriser $(z - 1)(z^2 + z +1)=0$. On résoud ensuite $z^2 + z + 1=0$ comme habituellement. $Δ=1-4=-3$ d'où $z_2=\dfrac{-1-i\sqrt3}2$ et $z_3=\dfrac{-1+i\sqrt3}2$. On les appelle les racines cubiques de l'unité, et on note $z_3$, $j=\dfrac{-1+i\sqrt3}2$, l'autre est $\bar j$.

En général on est amené à séparer partie réele et partie imaginaire pour des équations moins triviales.

Image, affixe

Fig. 1

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on représente le nombre complexe $z=x+iy$ par le point M de coordonnées (x, y). On dit que M est l'image du nombre complexe $z$ et que $z$ est l'affixe de M. On dit aussi que le vecteur $\vec{OM}$ est le vecteur image de $z$.

En vrac :

$z=0$ a pour image l'origine du repère,

les nombres réels ont leurs images sur l'axe des abscisses et les imaginaires purs sont sur l'axe des ordonnées,

la projection H de M sur l'axe des abscisses a pour affixe $x$, $H(x)$,

la projection K de M sur l'axe des ordonnées a pour affixe $iy$, $K(iy)$,

Fig. 2

$z=x+iy$ et $-z=-x-iy$ ont des images symétriques par rapport à l'origine.

Utile : Fig. 2

Soit $M(z)$ et $M'(z')$, construisons le parallélogramme $OMRM'$ :

$z+z'$ est représenté par le point R tel que

$$\vec{OR}=\vec{OM}+\vec{OM'}$$

$z-z'$ a pour vecteur image $\vec{M'M}$

$|\~|z|-|z'|\~| \le|z+z'|\le|z|+|z'|$. Elle s'obtient en appliquant l'inégalité triangulaire dans OMR.

Forme trigonométrique et forme exponentielle

Forme trigonométrique ou forme polaire

Fig. 3

Soit $z=x+iy$ et M son image dans le repère orthonormal. (cf. Fig. 3)

Le module de $z$, noté $|z|$, parfois $r$ ou $ρ$, est défini par $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$.

$|z|$ est représenté par la norme de $\vec{OM}$ (la distance $OM$). $|z|=OM=r$.

Soit H d'affixe $x=Re(z)$, (le projeté orthogonal de M sur l'axe).

Appelons $θ$, une mesure de l'angle $(\vec{OH},\vec{OM})$, définie à $2\pi$ près.

$θ$ est appelée argument de $z$. On note $Arg(z)=θ+2k\pi,\quad k\inℤ$

Avec ces notations on a $x=rcosθ$ et $y=rsinθ$.

Attention : Par abus de langage on entend dire «l'argument de z», alors qu'il faudrait dire «un argument de z». L'article indéfini se justifie par le fait que si $θ$ est un argument de $z$ alors tout $θ+2k\pi$ ($k\inℤ$) est un (autre) argument de $z$. On parle parfois d'«argument principal» qui selon les auteurs appartient à $[0,2\pi[$ ou à $]-\pi,\pi]$. À rapprocher avec la mesure principale d'un angle.

Dans certains cas il est crucial d'écrire $Arg(z)=θ+2k\pi$, comme nous le verrons dans le calcul des racines de l'unité.

Forme trigonométrique $z=x+iy\quad z=r(cosθ+isinθ)\quad x=rcosθ\quad y=rsinθ$

Remarque : Une autre introduction moins visuelle consisterait à poser $r=\sqrt{x^2+y^2}$ et $θ=arcos\dfrac xr$ et $θ=arsin\dfrac yr$

Additivité

Étant deux nombres complexes $z$ et $z'$ de module 1 et d'arguments respectifs a et b $z=\cosa+i \sinb$ et $z'=\cosb+i \sinb$, cherchons l'argument du produit $zz'$.

$zz'=(\cosa+i \sina)(\cosb+i \sinb)=\cosa\cosb-\sina\sinb+i(\cosa\sinb+\sina\cosb)$.

On reconnait $\cos(a+b)$ dans la partie réelle et $\sin(a+b)$ dans la partie imaginaire. D'où $zz'=\cos(a+b)+i \sin(a+b)$ et finalement $Arg(zz')=Arg(z)+Arg(z')$

Formule de Moivre

Dès 1707, Abraham de Moivre introduit dans ses recherches sur les racines n-ièmes de l'unité la formule

Formule de Moivre $(\cosx+i\sinx)^n=\cos(nx)+i\sin(nx)$

Et c'est Euler qui introduisit la notation exponentielle et la formule qui porte son nom.

Remarque : À rebours on emploi la formule de Moivre pour retrouver certaines formules de trigonométrie (ou pour lever un doute).

Exercices

Vérifier les formules suivantes, en appliquant la formule de Moivre : 1) $\cos2x =\cos^2x-\sin^2x$ ; 2) $\sin2x=2\sinx\cosx ; 3) $\cos2x=2\cos^2x-1 ; 4) $\cos(3x)=4\cos^3x- 3\cosx$ ; 5) $sin(3x)=3\sinx-4sin^3x$.

On donne les nombres complexes $z_1=\dfrac{\sqrt2}2(1+i)$ et $z_2=\dfrac{\sqrt3}2-\dfrac 1 2i$.

6) Calculer le module et un argument de $z_1$ et $z_2$.

7) En déduire les valeurs exactes du cosinus et du sinus de $\dfrac{\pi}{12}$.

8) Résoudre l'équation $z^n=1$, où n est un entier naturel. Exprimer la somme $S_n=1+z+z^2+...+z^{n-1}$ en fonction de $z$..

Les solutions sont données en annexe (3).

Forme exponentielle

Euler ayant remarqué la similitude des $Arg(z)$ avec les logarithmes introduisit la formule dite d'Euler :

Formule d'Euler $e^{ix}=\cosx+i\sinx$

Cette formule n'est pas injective car $φ=θ+2h\pi\quad\Longrightarrow\quad e^{iφ}=e^{iθ}$

On retrouve la formule de Moivre simplement en écrivant $(e^{ix})^n=e^{inx}$.

La formule d'Euler a de nombreuses applications


(1)

Par définition $t\inE\quad\Longleftrightarrow\quad \exists a\inℚ, \exists b\inℚ\quad t=a+b\sqrt2$. Prouver qu'un nombre appartient c'est trouver $a$ et $b$.

Allons-y avec $t=a+b\sqrt2$,\quad $t'=a'+b'\sqrt2$,\quad $\{a,b,a',b'\}\subset ℚ$.

1) $t+t'=a+a'+(b+b')\sqrt2$ donc $t+t'\inE$.

2) $0=0+0×\sqrt2$ donc $0\inE$.

3) $-t=-a+(-b)\sqrt2$

4) $tt'=(a+b\sqrt2)(a'+b'\sqrt2)=aa'+ab'\sqrt2 +ba'\sqrt2 +2bb'=aa'+2bb'+(ab'+a'b)\sqrt2$ cqfd

5) $1=1+0×\sqrt2\inE$.

Pour la dernière, appelons $\bart=a-b\sqrt2$ le conjugué de $t$. i.e. sa partie irrationnelle est l'opposée, et multiplions en haut et en bas par ce conjugué.

6) $\dfrac1t=\dfrac{a-b\sqrt2}{a^2-2b^2}=\dfraca{a^2-2b^2}+\dfrac{-b}{a^2-2b^2}\sqrt2$

Il n'y a aucun risque que $a^2-2b^2$ soit nul, puisque $t\ne0$ et qu'on a démontré que $\sqrt2$ est irrationnel.

Le produit $t\bar{t'}=a^2-2b^2\~ \in ℚ$ est remarquable.

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(2)

Un ensemble E, muni de deux opérations + et * est un corps commutatif si ces deux opérations «vont bien» :

elles sont associatives :

$a+(b+c)=(a+b)+c$ on peut donc écrire $a+b+c$ et

$a*(b*c)=(a*b)*c$, on peut aussi écrire $a*b*c$

elles sont commutatives : $a+b=b+a$ et $a*b=b*a$

elles ont chacune un élément neutre : $a+0=0+a=a$ et $a*1=1*a=a$

tout élement de E (ou presque) a un symétrique :

$-a+a=a+(-a)=0$ et $\forall a\ne 0, a*\dfrac 1 a=\dfrac1a*a=1$

la multiplication est distributive à droite et à gauche par rapport à + :

$m*(a+b)=m*a+m*b=(a+b)*m;

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(3)

1) et 2) : $(\cosx+i\sinx)^2=\cos2x+i\sin2x \Longrightarrow \cos^2x-\sin^2x+2i\sinx\cosx = \cos2x+i\sin2x$.

J'ai appliqué là $(a+ib)^2=a^2-b^2+2iab$ (vue dans Forme Algébriqe, Exemple).

3) On fait comme ci-dessus, puis on remplace $\sin^2x$ par $1-\cos^2x$.

4) et 5) : On applique $(a+ib)^3=a^3-3ab^2+i(3a^2b-b^3)$ (qui se démontre immédiatement) dans la formule de Moivre (avec n=3).

$(\cosx+i\sinx)^3=\cos^3x-3\cosx\sin^2x+i(3cos^2x-\sin^3x)=\cos3x+i\sin3x$

L'égalité des parties réelles donne $\cos3x=\cos^3x-3\cosx\sin^2x$, où on remplace $\sin^2x$ par $1-\cos^2x$ et on obtient 4). On fait pareil pour les parties imaginaires avec cette fois le remplacement de $\cos^2x$ par $1-\sin^2x$ pour trouver 5).

6) Il saute aux yeux que $z_1=\cos\dfrac\pi}4+i\sin\dfrac\pi4$. Donc $|z_1|=1$ et $Arg(z_1)=\dfrac\pi4$. Pour $z_2$ on reconnait aisément $z_2=\cos\dfrac\pi6-i\sin\dfrac\pi6$. Ce n'est pas sorcier d'en déduire $|z_2|=1$ et $Arg(z_2)=-\dfrac\pi6$.

7) $Arg(z_1z_2)=Arg(z_1)+Arg(z_2)=\dfrac\pi4-\dfrac\pi6=\dfrac\pi{12}$. Comme par hasard.

Il ne reste plus qu'à développer $z_1z_2$. Je trouve $z_1z_2=\dfrac\sqrt24(\sqrt3+1+i(\sqrt3-1))$.

Conclusion $cos\dfrac\pi6=\dfrac{\sqrt2(\sqrt3+1)}4$ et $sin\dfrac\pi6=\dfrac{\sqrt2(\sqrt3-1)}4$.

Remarque : Les arguments utilisés sont les déterminations principales entre $-\pi$ et $\pi$.

8) De toute évidence $|z|=1$ ($|z^n|=|z|^n=1)$. Posons alors $z=\cosθ+i\sinθ$. L'équation revient alors à $\cos {n\theta}+i\sin {nθ}=1$ ce qui équivaut à $\cos {nθ}=1$ et $\sin {nθ}=0$, ou encore à $θ=0+\dfrac{2kπ}n=\dfrac{2kπ}n$. avec $k=0, 1, 2, n-1$. Ces racines sont appelées racines $n^{ièmes}$ de l'unités. Elles sont représentées par des points du cercle trignométriques sommets d'un polygone régulier de n côtés centré en O.

$S_n=\sum_{k=0}^{k=n-1}z_n=\dfrac{1-z^n}{1-z}$ est appelée formule des suites géométriques. Nous y reviendrons.

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